Inéquations du premier degré

Les mêmes opérations, un sens en plus

Une inéquation remplace l'égalité par un des quatre signes $<$, $>$, $\leq$, $\geq$. Les solutions ne sont plus un ou deux nombres, mais toute une demi-droite : tous les nombres d'un certain côté d'une borne.

On isole l'inconnue comme pour une équation : ajouter ou retrancher le même nombre aux deux membres, multiplier ou diviser par un nombre positif, ne change pas le sens.

Exemple. $2x + 3 < 11$. On retranche $3$ : $2x < 8$. On divise par $2$ : $x < 4$. Tous les nombres strictement plus petits que $4$ conviennent.

Un contrôle utile. Prendre un nombre du côté annoncé, et un de l'autre. Pour $x < 4$, $x = 0$ donne $3 < 11$ (vrai) ; $x = 5$ donne $13 < 11$ (faux). Si les deux côtés « marchent », le sens a été perdu.

Multiplier par un négatif

Une exception, et une seule : multiplier ou diviser les deux membres par un nombre négatif renverse le sens de l'inégalité.

C'est visible sur les nombres : $2 < 5$, et en multipliant par $-1$, $-2 > -5$. Les relatifs ont déjà montré que multiplier par $-1$ inverse l'ordre.

Exemple. $-2x < 6$. On divise par $-2$ : $x > -3$.

Attention au piège. Oublier d'inverser désigne précisément les nombres qui ne conviennent pas. Pour $-2x < 6$, $x < -3$ contient $x = -4$, et $-2 \times (-4) = 8$, qui n'est pas plus petit que $6$.

Lire la solution sur la droite

On représente l'ensemble des solutions sur une droite graduée : une demi-droite, bornée par la valeur trouvée. Si l'inégalité est stricte ($<$ ou $>$), la borne est exclue. Si elle est large ($\leq$ ou $\geq$), la borne est incluse.

On n'a pas besoin d'une notation d'intervalle pour le dire : « tous les nombres strictement plus grands que $3$ » et « tous les nombres inférieurs ou égaux à $2$ » suffisent, et la droite les montre.

Ce que cette leçon prépare. Un système posera deux conditions à la fois, d'abord des égalités. Les mêmes lectures (un couple qui convient aux deux, un couple qui n'en vérifie qu'une) reviendront.