Équations du premier degré

Une égalité à préserver

Une équation, c'est une égalité qui n'est vraie que pour certaines valeurs de la lettre : l'inconnue. Résoudre, c'est trouver ces valeurs.

Les deux membres sont les deux plateaux d'une balance : on a le droit d'ajouter, retrancher, multiplier ou diviser (par un nombre non nul), à condition de le faire des deux côtés. L'égalité reste vraie, et l'inconnue se dégage.

Exemple. $2x + 3 = 11$. On retranche $3$ : $2x = 8$. On divise par $2$ : $x = 4$.

Un contrôle utile. Substituer la valeur trouvée dans l'équation de départ. Pour $x = 4$, $2 \times 4 + 3 = 11$ : c'est bon. Si le contrôle échoue, une opération n'a été faite que d'un côté.

Isoler l'inconnue

Les équations de la forme $ax + b = c$ (avec $a \neq 0$) se résolvent toujours de la même façon : on retranche $b$, puis on divise par $a$.

Exemple. $5x - 7 = 13$. On ajoute $7$ : $5x = 20$. On divise par $5$ : $x = 4$.

Quand $a$ est négatif, on divise quand même par $a$ : $-3x + 5 = 14$ donne $-3x = 9$, puis $x = -3$. Le signe fait partie du coefficient.

Développer d'abord

Si l'équation contient une parenthèse, on développe, on réduit, puis on isole. On ne divise pas à travers une somme.

Exemple. $3(x - 2) + 5 = 14$.

Attention au piège. Le moins devant une parenthèse se distribue : $4 - (x + 1) = 4 - x - 1$, pas $4 - x + 1$.

Produit nul

Un produit de nombres est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul. Après factorisation, c'est une méthode de résolution :

C'est pour cela que factoriser précède les équations : sans $(x - 2)(x + 5)$, le produit nul n'a rien à quoi s'appliquer.

Ce que cette leçon prépare. Les inéquations reprennent les mêmes opérations, avec une réserve : multiplier ou diviser par un négatif renverse le sens. Les systèmes, ensuite, posent deux égalités à la fois.