Factorisation : facteur commun et identités

Sortir un facteur commun

Factoriser, c'est l'inverse du développement : recoller un produit devant une parenthèse. La distributivité se lit dans l'autre sens :

On cherche le plus grand facteur commun aux coefficients (et, s'il y en a, la lettre commune).

Exemple. $6x + 9 = 3(2x + 3)$, parce que $6 = 3 \times 2$ et $9 = 3 \times 3$.

Un contrôle utile. Développer le résultat. Si on ne retrouve pas l'expression de départ, le facteur n'est pas le bon, ou un terme de la parenthèse a été recopié sans être divisé.

Reconnaître un carré

Les identités se lisent aussi de droite à gauche. Dès que l'expression a la forme $a^2 + 2ab + b^2$, c'est $(a + b)^2$ ; avec un moins au milieu, $(a - b)^2$.

Exemple. $x^2 + 6x + 9$ : $a = x$, $b = 3$ car $2ab = 6x$ et $b^2 = 9$, donc $x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2$.

De même, $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$.

Attention au piège. $x^2 + 8x + 15$ n'est pas un carré : $4^2 = 16$ n'égale pas $15$, et $2 \times x \times 4 = 8x$ ne suffit pas si le dernier terme ne suit pas. Il faut les deux conditions, $2ab$ et $b^2$.

Reconnaître une différence de carrés

La troisième identité se factorise sans terme du milieu :

Exemple. $x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5)$, et $4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$.

$x^2 + 25$ ne se factorise pas ainsi : ce n'est pas une différence.

Ce que cette leçon prépare. Un produit égal à zéro n'est possible que si l'un des facteurs est nul. Pour résoudre $(x - 2)(x + 5) = 0$, il fallait d'abord produire cette écriture. L'équation de la leçon suivante s'appuie là-dessus.