Identités remarquables

Le carré d'une somme

Quand les deux parenthèses sont identiques, la double distributivité se réduit à trois termes. C'est la première identité remarquable :

En développant : $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2$, et $ab = ba$, d'où le terme double $2ab$.

Exemple. $(x + 5)^2 = x^2 + 2 \times x \times 5 + 25 = x^2 + 10x + 25$.

Attention au piège. $(a + b)^2 \neq a^2 + b^2$. Pour $a = 2$ et $b = 3$, le membre de gauche vaut $25$ et le membre de droite $13$. L'écart, c'est exactement $2ab = 12$. C'est l'erreur la plus fréquente du calcul littéral au collège, déjà croisée du côté des puissances.

Le carré d'une différence

Le même calcul avec un moins :

Le terme du milieu change de signe ; le dernier reste positif, car $(-b)^2 = b^2$.

Exemple. $(x - 4)^2 = x^2 - 8x + 16$.

Un contrôle utile. Un carré développé a toujours un dernier terme positif. Si vous trouvez $(x - 4)^2 = x^2 - 8x - 16$, le signe de $16$ est faux, sans avoir à tout recommencer.

Cette identité n'est pas $a^2 - b^2$ : $(x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9$, tandis que $x^2 - 9$ n'a pas de terme en $x$.

La différence de deux carrés

Le troisième cas est un produit de parenthèses opposées, pas un carré :

En développant le membre de droite, les termes croisés $ab$ et $-ab$ s'annulent, et il reste $a^2 - b^2$.

Exemple. $(x + 5)(x - 5) = x^2 - 25$.

Ce que cette leçon prépare. Factoriser, c'est relire ces trois égalités de droite à gauche : reconnaître $x^2 + 6x + 9$ comme $(x + 3)^2$, ou $x^2 - 25$ comme $(x - 5)(x + 5)$. La leçon suivante s'en sert, avant d'en faire un outil pour les équations.