numéro

Un facteur devant une somme

La distributivité relie la multiplication et l'addition :

k(a + b) = ka + kb.

Elle vaut aussi pour une soustraction : $k(a - b) = ka - kb$ . Développer, c'est appliquer cette règle pour transformer un produit en somme : « ouvrir les parenthèses ».

Exemple. $5(2x + 3) = 5 \times 2x + 5 \times 3 = 10x + 15$ .

Le facteur touche chaque terme

Développer, c'est faire le produit avec chaque morceau de la parenthèse, pas seulement avec le premier. Calcul de départ : 3(x + 2)

Changez de méthode pour comparer les chemins.

3(x + 2)le 3 multiplie la somme
3 × x + 3 × 2un produit par terme
3x + 6on réduit

Résultat : 3x + 6

k(a + b) = ka + kb : le facteur sort deux fois. Pour x = 4, 3(4 + 2) = 18 et 3×4 + 6 = 18 : les deux écritures coïncident.

Attention au piège. Le facteur multiplie chaque terme de la parenthèse. Écrire $3(x + 2) = 3x + 2$ , c'est laisser le $2$ intact : pour $x = 4$ , le membre de gauche vaut $18$ et le membre de droite $14$ .

ExerciceÉtape 1/4

La distributivité

Quelle égalité est correcte ?

Développer, y compris avec un signe moins

Quand le facteur est négatif, chaque produit emporte ce signe :

-2(x - 1) = (-2) \times x + (-2) \times (-1) = -2x + 2.

Le second terme devient positif : moins fois moins. Une autre lecture équivalente consiste à distribuer d'abord le moins, $-(x - 1) = -x + 1$ , puis le $2$ .

Un contrôle utile. Substituer la même valeur de $x$ dans l'écriture factorisée et dans l'écriture développée. Si les résultats diffèrent, un terme n'a pas été multiplié, ou un signe a sauté.

ExerciceÉtape 1/5

Développer

4(x + 3)

Deux parenthèses : la double distributivité

Pour multiplier deux sommes, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd.

Quatre produits, pas deux.

Quatre produits, pas deux

Chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde. Calcul de départ : (x + 3)(x + 2)

Changez de méthode pour comparer les chemins.

(x + 3)(x + 2)deux sommes
x × x + x × 2 + 3 × x + 3 × 2chaque × chaque
x² + 2x + 3x + 6on calcule
x² + 5x + 6on réduit les x

Résultat : x² + 5x + 6

Les termes croisés 2x et 3x ne s'annulent pas : ils s'ajoutent. C'est eux qu'on oublie le plus souvent.

Exemple. $(x - 1)(x + 4) = x^2 + 4x - x - 4 = x^2 + 3x - 4$ .

Les identités remarquables de la leçon suivante ne sont que des cas particuliers de cette règle, quand les deux parenthèses se ressemblent. Les développer « à la main » reste possible ; les reconnaître ira plus vite.

Ce que cette leçon prépare. Factoriser, c'est parcourir le chemin inverse : $ka + kb$ redevient $k(a + b)$ . Il faut d'abord savoir développer sans erreur, sinon on ne reconnaît pas la forme à recoller.

ExerciceÉtape 1/6

Double distributivité

(a + b)(c + d)