numéro

Une lettre à la place d'un nombre

Jusqu'ici, chaque calcul portait sur des nombres connus. Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres, qui tiennent la place de nombres qu'on ne fixe pas encore :

3x + 2, \qquad a^2 - b, \qquad 2\pi r.

La lettre n'est pas une inconnue à trouver : ça, c'est l'équation, deux leçons plus loin. C'est une variable : elle peut prendre différentes valeurs, et l'expression en prend une à chaque fois.

$3x$ se lit « trois $x$ » et signifie $3 \times x$ , pas $3 + x$ . $x^2$ signifie $x \times x$ , pas $2x$ . Ces deux lectures, héritées des puissances et de la multiplication, sont les premières à fausser un calcul littéral.

Attention au piège. $2x$ et $x^2$ ne sont pas interchangeables : pour $x = 3$ , $2x = 6$ et $x^2 = 9$ . La partie littérale (la lettre et ses exposants) fait partie de l'écriture, au même titre que le coefficient.

ExerciceÉtape 1/4

Lire une expression littérale

Laquelle de ces écritures est une expression littérale ?

Substituer

Substituer, c'est remplacer chaque lettre par un nombre, puis calculer en respectant les priorités. Dès que la valeur est un relatif, on l'entoure de parenthèses : $2x$ pour $x = -3$ s'écrit $2 \times (-3)$ , pas $2-3$ .

Substituer un relatif : les parenthèses d'abord

Remplacer x par −3 sans parenthèses, c'est coller un signe moins au milieu d'une multiplication. Calcul de départ : 2x + 5 avec x = −3

Changez de méthode pour comparer les chemins.

2x + 5x vaut −3
2 × (−3) + 5on isole le relatif
−6 + 5la multiplication d'abord
−1puis l'addition

Résultat : −1

Les parenthèses rappellent que −3 est un seul nombre, le facteur de 2. C'est la route à suivre dès que la valeur substituée est négative.

Quand plusieurs lettres sont en jeu, chacune reçoit sa valeur, indépendamment des autres.

Exemple. $F = a^2 - b$ avec $a = 4$ et $b = 7$ :

F = 4^2 - 7 = 16 - 7 = 9.

Un contrôle utile. Après substitution, il ne doit plus rester de lettre. S'il en reste une, une valeur n'a pas été remplacée.

ExerciceÉtape 1/4

Substituer une valeur

E = 2x + 5

Votre réponse

Écrivez seulement un nombre, avec une virgule ou un point pour les décimales : 12,5 ou 12.5. Les fractions et les unités ne sont pas acceptées.

Réduire : ne regrouper que les termes semblables

Un terme est un morceau de l'expression séparé des autres par un $+$ ou un $-$ . Deux termes sont semblables lorsqu'ils ont la même partie littérale : les mêmes lettres aux mêmes exposants. $3x$ et $-7x$ sont semblables ; $3x$ et $3x^2$ ne le sont pas ; $5$ et $-2$ le sont (aucun des deux n'a de lettre).

Réduire, c'est regrouper les coefficients des termes semblables :

3x + 5 - 2x + 1 = (3-2)x + (5+1) = x + 6.

4a^2 + 2a - a^2 + 7a = 3a^2 + 9a.

On ne peut pas aller plus loin : $a^2$ et $a$ ne sont pas semblables, pas plus que $x$ et $x^2$ . C'est la même distinction que $10^2$ et $10$ du côté des puissances.

Ce que cette leçon prépare. Développer $k(a+b)$ , puis factoriser, puis résoudre une équation, tout cela opère sur des expressions déjà réduites. Une réduction fausse (par exemple $2x + 3x^2 = 5x^2$ ) se propage à tout ce qui suit.

ExerciceÉtape 1/5

Termes semblables et réduction

5x