Racine carrée

Le nombre dont le carré est $a$

Pour $a \geq 0$, la racine carrée de $a$, notée $\sqrt{a}$, est l'unique nombre positif (ou nul) dont le carré vaut $a$ :

Ainsi $\sqrt{9} = 3$, parce que $3^2 = 9$ et $3 > 0$. On n'écrit pas $\sqrt{9} = -3$ : $-3$ est un nombre dont le carré vaut $9$, mais la racine carrée désigne le positif. Les deux solutions de $x^2 = 9$ sont $x = 3$ et $x = -3$, c'est-à-dire $x = \sqrt{9}$ et $x = -\sqrt{9}$.

$\sqrt{a}$ n'est pas définie pour $a < 0$ dans les réels : aucun réel au carré n'est négatif. C'est une limite, pas un oubli.

Exemple. $\sqrt{0} = 0$, $\sqrt{1} = 1$, $\sqrt{16} = 4$, $\sqrt{2}$ n'est pas entier, mais existe : $1{,}4^2 = 1{,}96 < 2 < 2{,}25 = 1{,}5^2$.

Les règles, et celles qui n'en sont pas

Pour $a \geq 0$ et $b \geq 0$ :

En revanche, $\sqrt{a + b}$ n'est pas $\sqrt{a} + \sqrt{b}$.

Attention au piège. $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, et non $3 + 4 = 7$. C'est le même réflexe que $(a+b)^2 = a^2 + b^2$, déjà rencontré pour les puissances, et il est tout aussi faux. Le contrôle : le carré du résultat doit retrouver le nombre sous le radical. $7^2 = 49 \neq 25$.

Pour un relatif, $\sqrt{x^2} = |x|$ : la racine rend le positif. $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3$, pas $-3$. On n'écrira $|x|$ proprement qu'au lycée ; pour l'instant, « la distance à zéro » suffit.

Carrés parfaits, et ce que cette leçon ne fait pas

Les entiers $0$, $1$, $4$, $9$, $16$, $25$, $36$, $\dots$ sont des carrés parfaits : leur racine est entière. Les autres entiers positifs ont une racine irrationnelle, qu'on encadre ou qu'on laisse sous le radical.

Simplifier $\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$ utilise la règle du produit. On ne « simplifie » pas $\sqrt{8 + 8}$ en $2\sqrt{8}$ : $8+8$ n'est pas un produit.

La fonction $x \mapsto \sqrt{x}$, définie pour $x \geq 0$, est étudiée dans le thème Analyse (leçon sur les fonctions de référence), à côté de $x \mapsto x^2$. Ici on calcule des racines ; là-bas on lit un graphe et un tableau de variations. Les deux leçons se complètent, elles ne se dupliquent pas.