Puissances entières

Un produit répété

Pour un entier $n \geq 1$,

$a$ est la base, $n$ l'exposant. $a^1 = a$, et on convient que $a^0 = 1$ pour $a \neq 0$ (un produit de zéro facteur est le neutre de la multiplication). $0^0$ n'est pas défini.

Les puissances de $10$ retrouvent le tableau de numération : $10^3 = 1\,000$, $10^0 = 1$, $10^{-1} = 0{,}1$. Un exposant négatif, pour $a \neq 0$, est l'inverse :

Exemple. $2^5 = 32$, $10^{-2} = \dfrac{1}{100} = 0{,}01$.

Les règles de calcul

Quand la base est la même :

Quand l'exposant est le même : $(ab)^n = a^n b^n$ et $\bigl(\dfrac{a}{b}\bigr)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ (avec $b \neq 0$).

Attention au piège. $a^2 + a^3$ n'est pas $a^5$. Les règles portent sur des produits de puissances, pas sur des sommes. De même, $(a+b)^n \neq a^n + b^n$ : $(2+3)^2 = 25$, et $2^2 + 3^2 = 13$. C'est le même réflexe que $(a+b)^2 = a^2 + b^2$, que le calcul littéral défera plus loin.

Le signe et les parenthèses

L'exposant ne porte que sur ce qui est juste à sa gauche. Pour un relatif, les parenthèses changent donc tout :

C'est le piège annoncé à la fin de la leçon sur les opérations des relatifs. Pour un exposant impair, les deux écritures coïncident en signe : $(-3)^3 = -27$ et $-3^3 = -27$. Pour un exposant pair, elles s'opposent.

Un contrôle utile. Si le résultat d'un carré est négatif, les parenthèses ont été oubliées : un carré d'un réel est toujours positif ou nul.

La fonction $x \mapsto x^2$, elle, est une autre histoire : le thème Analyse l'étudie avec $x \mapsto \sqrt{x}$ dans la leçon sur les fonctions de référence. Ici on calcule ; là-bas on représente.