Pourcentages et évolutions (hausses, baisses)

$p\,\%$ d'une quantité

Un pourcentage n'est qu'une fraction de dénominateur $100$ :

Prendre $20\,\%$ de $80$ €, c'est calculer $\dfrac{20}{100} \times 80 = 16$ €. C'est un cas particulier de la proportionnalité de la leçon précédente : le coefficient vaut $\dfrac{p}{100}$.

Exemple. $15\,\%$ de $60 = 0{,}15 \times 60 = 9$. Inversement, $9$ représente $15\,\%$ de $60$, parce que $\dfrac{9}{60} = 0{,}15$.

Attention au piège. $50\,\%$ de $50\,\%$ d'une quantité, ce n'est pas $100\,\%$ : c'est $25\,\%$, parce que $0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}25$. Les pourcentages se composent par multiplication, pas par addition.

Hausse et baisse : multiplier par $1 \pm t$

Augmenter une quantité de $t\,\%$, c'est la multiplier par $1 + \dfrac{t}{100}$. La diminuer de $t\,\%$, c'est la multiplier par $1 - \dfrac{t}{100}$.

Exemple. Un article à $50$ € augmente de $20\,\%$ : $50 \times 1{,}20 = 60$ €. S'il baisse ensuite de $20\,\%$ : $60 \times 0{,}80 = 48$ €, et non $50$ €.

Un contrôle utile. Une hausse de $t\,\%$ suivie d'une baisse de $t\,\%$ ne revient pas au prix de départ. Les $t\,\%$ de baisse se calculent sur le prix déjà augmenté, donc sur une base plus grande.

Retrouver le prix de départ

Si un prix $P$ résulte d'une hausse de $t\,\%$ appliquée à un prix $x$, alors $P = x \times \bigl(1 + \dfrac{t}{100}\bigr)$, donc

Exemple. Après une hausse de $25\,\%$, un article coûte $50$ €. Le prix de départ est $50 / 1{,}25 = 40$ €, et non $50 - 25\,\%$ de $50 = 37{,}50$ €. Retrancher $25\,\%$ du nouveau prix n'annule pas une hausse de $25\,\%$ de l'ancien : c'est exactement le piège des évolutions successives, lu à l'envers.

Ce que cette leçon prépare. Les puissances de la leçon suivante permettront d'écrire une hausse répétée $n$ fois : $\times (1{,}2)^n$. Pour l'instant, deux étapes s'enchaînent déjà par un produit de coefficients.