Proportionnalité : reconnaître et résoudre

Le même coefficient

Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu'on passe de l'une à l'autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité $k$ :

Dans un tableau, cela se voit de deux façons, équivalentes :

• tous les quotients $\dfrac{y}{x}$ sont égaux (et valent $k$) ;
• multiplier $x$ par un nombre multiplie $y$ par le même nombre.

Exemple. $2$ kg de pommes à $6$ € : le kilogramme coûte $3$ €, $4$ kg coûtent $12$ €. Doubler la masse double le prix.

Le thème Analyse reprend la même idée sous le nom de fonction linéaire $f(x) = kx$ (leçon Proportionnalité). Ici on reste du côté du tableau et du produit en croix ; là-bas, du côté de la droite qui passe par l'origine.

La quatrième proportionnelle

Quand trois valeurs d'un tableau proportionnel sont connues, la quatrième se calcule par produit en croix. Si $\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{x}$, alors $a x = b c$, donc $x = \dfrac{b c}{a}$.

Exemple. $3$ cahiers coûtent $7{,}50$ €. Combien coûtent $5$ cahiers ?

On peut aussi passer par le coefficient : $k = 7{,}50 / 3 = 2{,}50$ € par cahier, puis $5 \times 2{,}50 = 12{,}50$ €. Les deux chemins sont le même calcul, lu dans un autre ordre.

Un contrôle utile. Le résultat doit être cohérent avec un ordre de grandeur : $5$ cahiers coûtent plus que $3$, donc plus que $7{,}50$ €. Un produit en croix qui donnerait $4{,}50$ € est visible sans le refaire.

Ce qui n'est pas proportionnel

Ajouter une constante casse la proportionnalité. Un abonnement à $10$ € plus $2$ € par séance coûte $12$ € pour une séance et $14$ € pour deux : le prix n'a pas doublé. C'est une situation affine, pas linéaire : le thème Analyse y reviendra.

De même, une réduction de $10$ € sur l'achat (une seule fois, pas par article) n'est pas une situation proportionnelle : $1$ article à $20$ € devient $10$ €, $2$ articles à $40$ € deviennent $30$ €, et $30 \neq 2 \times 10$.

Attention au piège. « Plus on en prend, plus ça coûte » ne suffit pas. Beaucoup de situations croissent sans être proportionnelles. Le test qui tranche : doubler $x$ double-t-il $y$ ? Si non, ce n'est pas de la proportionnalité.

La leçon suivante traduit tout cela en pourcentages : une hausse de $20\,\%$ est précisément la multiplication par $1{,}2$, c'est-à-dire un cas particulier de $y = kx$.