Opérations sur les fractions

Additionner et soustraire

On n'additionne des parts que si elles ont la même taille. Autrement dit, les dénominateurs doivent être égaux. On additionne alors les numérateurs, et on garde le dénominateur :

Si les dénominateurs diffèrent, on les ramène au même, souvent le PPCM, avant d'additionner. Soustraire suit la même règle, avec une soustraction de numérateurs.

Attention au piège. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ n'est pas $\dfrac{2}{5}$. Additionner les dénominateurs mélange des demis et des tiers comme s'ils étaient interchangeables. Le résultat correct est $\dfrac{5}{6}$, plus proche de $1$ que de $\dfrac{1}{2}$, ce que $2/5$ n'est pas.

Un contrôle utile. La somme de deux fractions positives dépasse chacune d'elles. Si $\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}$ vous donne $\dfrac{2}{5} < \dfrac{1}{2}$, le résultat est plus petit que l'un des termes : l'erreur est visible sans refaire le calcul.

Multiplier

Multiplier deux fractions, c'est prendre une part d'une part. On multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux :

On simplifie dès qu'un facteur est commun, avant ou après le produit : le résultat est le même, le calcul est plus court avant.

Cette règle-là, contrairement à l'addition, ressemble à ce qu'on a envie d'écrire. C'est précisément pour cela qu'on la confond avec l'addition : la tentation d'additionner haut et bas vient de l'habitude de la multiplication.

Diviser

Diviser par une fraction, c'est multiplier par son inverse. L'inverse de $\dfrac{a}{b}$ (avec $a \neq 0$) est $\dfrac{b}{a}$, parce que le produit des deux vaut $1$ :

Attention au piège. On n'inverse que le diviseur. Inverser les deux fractions calcule l'inverse du résultat. Et $\dfrac{2}{3} \div \dfrac{4}{5}$ n'est pas $\dfrac{2 \div 4}{3 \div 5}$ non plus : cette écriture a un sens en décimaux, mais ce n'est pas la règle à retenir, et elle casse dès que les divisions ne tombent pas juste.

Enchaîner, avec les relatifs

Les priorités opératoires ne changent pas, et les règles de signes de la leçon sur les relatifs non plus. Un produit de deux fractions négatives est positif ; une somme de deux fractions de signes contraires se calcule comme une soustraction de distances à zéro.

Ce que cette leçon ne dit pas. L'écriture décimale d'une fraction, et le fait que $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ ne se termine pas, relèvent de la leçon sur les décimaux (déjà vue) et n'ont pas besoin d'être recalculées ici. Une fraction est un nombre à part entière, qu'on peut comparer, additionner, multiplier sans passer par une virgule.