Fractions : sens, comparaison et simplification

Une part d'un tout

La fraction $\dfrac{a}{b}$, avec $b \neq 0$, désigne $a$ parts d'un tout découpé en $b$ parts égales. $b$ est le dénominateur (combien de parts dans le tout), $a$ est le numérateur (combien de parts on en prend).

Quand $a < b$, la fraction est plus petite que $1$ : on n'a pas pris le tout. Quand $a = b$, on a pris toutes les parts : $\dfrac{4}{4} = 1$. Quand $a > b$, on a pris plus d'un tout : $\dfrac{5}{4} = 1 + \dfrac{1}{4}$.

Les relatifs s'appliquent tels quels : $-\dfrac{3}{4}$ est l'opposé de $\dfrac{3}{4}$, à gauche de $0$ sur la droite graduée. Le signe porte sur la fraction, pas sur un seul des deux nombres.

Attention au piège. Un dénominateur plus grand ne rend pas la fraction plus grande. $\dfrac{1}{4}$ est plus petit que $\dfrac{1}{3}$, parce que chaque part est plus petite quand on découpe en plus de morceaux. La règle « plus de chiffres gagne », déjà fausse pour les décimaux, l'est aussi ici.

Fractions égales

Multiplier (ou diviser) le numérateur et le dénominateur par le même entier non nul ne change pas la valeur :

C'est le même tout, découpé plus finement, dont on prend proportionnellement plus de parts. Soustraire le même nombre haut et bas, en revanche, change la valeur : $\dfrac{3-1}{4-1} = \dfrac{2}{3} \neq \dfrac{3}{4}$.

Simplifier, c'est aller dans l'autre sens : on divise par le PGCD, et on s'arrête quand il vaut $1$. La leçon précédente a construit cet outil précisément pour ça.

Un contrôle utile. Après simplification, $\operatorname{pgcd}(a,b)$ doit valoir $1$. Si vous obtenez $\dfrac{8}{6}$, ce n'est pas fini : $\operatorname{pgcd}(8,6) = 2$.

Comparer deux fractions

Trois méthodes, selon les dénominateurs.

1. Même dénominateur. On compare les numérateurs : $\dfrac{3}{7} < \dfrac{5}{7}$.
2. Même numérateur. On compare les dénominateurs dans l'autre sens : $\dfrac{3}{8} < \dfrac{3}{5}$, parce que $8 > 5$.
3. Dénominateurs différents. On les ramène au même, souvent le PPCM, ou on compare les produits en croix : $\dfrac{a}{b} < \dfrac{c}{d}$ lorsque $ad < bc$ (avec $b, d > 0$).

Exemple. $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{2}{3}$ : $3 \times 3 = 9$ et $2 \times 4 = 8$, donc $\dfrac{3}{4} > \dfrac{2}{3}$.

Attention au piège. Comparer les numérateurs en ignorant les dénominateurs n'a aucun sens : $\dfrac{2}{3}$ et $\dfrac{3}{5}$ ont $2 < 3$, ce qui ferait conclure à tort que $\dfrac{2}{3}$ est plus petite, alors que $2 \times 5 = 10 > 3 \times 3 = 9$, donc $\dfrac{2}{3} > \dfrac{3}{5}$. Sans dénominateur commun ou produit en croix, on ne compare pas.

La leçon suivante dit comment additionner, multiplier et diviser ces fractions. Comparer n'est pas encore calculer avec.