Ensembles de nombres et intervalles

La chaîne des ensembles

Les nombres utilisés jusqu'ici s'emboîtent :

• $\mathbb{N}$ : les entiers naturels $0$, $1$, $2$, $3$, …
• $\mathbb{Z}$ : les entiers relatifs, qui ajoutent les négatifs
• $\mathbb{D}$ : les décimaux, écritures à virgule d'un nombre fini de chiffres
• $\mathbb{Q}$ : les rationnels, quotients d'un entier par un entier non nul
• $\mathbb{R}$ : les réels, qui ajoutent les irrationnels comme $\sqrt{2}$ ou $\pi$

Un décimal est un rationnel particulier : $0{,}5 = \dfrac{1}{2}$. L'inverse est faux : $\dfrac{1}{3} = 0{,}333\ldots$ n'est pas décimal, parce que la virgule ne s'arrête pas.

Attention au piège. $\sqrt{4} = 2$ est un naturel, pas un irrationnel. La racine d'un entier n'est irrationnelle que lorsqu'elle n'est pas entière : $\sqrt{2} \notin \mathbb{Q}$, $\sqrt{9} \in \mathbb{N}$.

Un contrôle utile. Pour sortir de $\mathbb{Q}$, il faut un nombre qui n'est le quotient d'aucun couple d'entiers. $\pi$ et $\sqrt{2}$ le sont ; $0{,}25$ et $-\dfrac{7}{3}$ ne le sont pas.

Intervalles

Un intervalle de $\mathbb{R}$ est l'ensemble des réels compris entre deux bornes, ou d'un seul côté d'une borne. Le crochet se tourne vers l'intérieur si la borne est incluse, vers l'extérieur si elle est exclue :

• $[2\,;\,5]$ : $2 \leq x \leq 5$
• $]2\,;\,5[$ : $2 < x < 5$
• $[2\,;\,5[$ : $2 \leq x < 5$
• $]-\infty\,;\,3]$ : $x \leq 3$
• $[0\,;\,+\infty[$ : $x \geq 0$

L'infini n'est jamais atteint : son crochet est toujours ouvert.

C'est la notation que les inéquations du premier degré décrivaient en mots (« tous les nombres strictement plus grands que $3$ »). On peut désormais écrire $x > 3$ sous la forme $x \in \,]3\,;\,+\infty[$.

Le thème Analyse a déjà utilisé cette écriture, en dépannage, dans la leçon sur les fonctions de référence. Ici on la définit ; là-bas on s'en sert pour les domaines.

Attention au piège. $]2\,;\,5[$ n'est pas « $2$ et $5$ exclus du mauvais côté ». Le crochet ouvert est celui qui tourne le dos à l'intervalle.

Valeur absolue

La valeur absolue $|x|$ est la distance de $x$ à $0$ sur la droite graduée. Elle est toujours positive ou nulle :

Ainsi $|-4| = 4$ et $|4| = 4$. Plus généralement, $|x - a|$ est la distance de $x$ à $a$.

Une inégalité de distances se relit comme un intervalle :

• $|x| < 3 \Longleftrightarrow x \in \,]-3\,;\,3[$
• $|x - 2| \leq 1 \Longleftrightarrow x \in [1\,;\,3]$
• $|x| \geq 2 \Longleftrightarrow x \in \,]-\infty\,;\,-2] \cup [2\,;\,+\infty[$

La fonction $x \mapsto |x|$, elle, est une autre histoire : Analyse l'étudie avec $x \mapsto \sqrt{x}$ dans la leçon sur les fonctions de référence. Ici on mesure une distance ; là-bas on représente une courbe.

Ce que cette leçon prépare. Les inéquations du second degré découperont $\mathbb{R}$ en intervalles de signe constant. Sans $[a\,;\,b]$ et sans $|x|$, ces coupures n'ont pas d'écriture.