Priorités opératoires

Pourquoi il faut une règle

Le calcul $2 + 3 \times 4$ peut se lire de deux façons : en commençant par l'addition on trouve $20$, en commençant par la multiplication on trouve $14$. Sans convention, une même écriture aurait donc deux résultats, et une expression mathématique ne serait plus lisible par tout le monde.

Tout le monde s'est donc accordé sur un ordre, et cet ordre fait partie de l'écriture elle-même : $2 + 3 \times 4$ signifie $2 + (3 \times 4)$.

Les trois règles

Pour calculer une expression, on applique dans l'ordre :

1. les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures ;
2. les multiplications et divisions ;
3. les additions et soustractions.

À priorité égale, on calcule de gauche à droite.

Exemple. $20 - 3 \times 4 + 6 \div 2$ se calcule ainsi :

Le sens de « de gauche à droite »

Cette dernière règle n'est pas un détail. Pour les additions et multiplications, l'ordre est sans conséquence : c'est l'associativité. Mais dès qu'une soustraction ou une division apparaît, il devient décisif :

alors que calculer $8 - 5$ d'abord donnerait $20 - 3 = 17$. De même, $100 \div 10 \div 2$ vaut $10 \div 2 = 5$, et non $100 \div 5 = 20$.

Attention au piège. La règle ne dit pas « multiplications avant divisions » : ces deux opérations ont la même priorité, et se traitent donc dans l'ordre d'écriture. Dans $12 \div 3 \times 2$, on calcule $12 \div 3 = 4$ puis $4 \times 2 = 8$. Faire $3 \times 2$ d'abord donnerait $2$, ce qui est faux.

Se servir des parenthèses

Les parenthèses servent à imposer un ordre différent de celui des règles. Elles ne sont donc jamais inutiles quand elles changent le résultat :

En revanche, les parenthèses de $2 + (3 \times 4)$ sont facultatives : elles ne font que rappeler une priorité déjà appliquée. Les écrire quand même est souvent une bonne idée quand l'expression est longue.

Un contrôle utile. Quand un résultat vous surprend, réécrivez l'expression en ajoutant toutes les parenthèses implicites. Si votre version parenthésée ne correspond pas à l'expression de départ, l'erreur est là et non dans les calculs.