Nombres décimaux

Prolonger le tableau vers la droite

Les entiers ne suffisent pas à mesurer : entre $2$ et $3$ mètres, il faut bien pouvoir exprimer une longueur intermédiaire. Les nombres décimaux règlent ce problème en prolongeant le système décimal au-delà des unités.

Le principe reste exactement le même : chaque rang vaut dix fois moins que celui de gauche. Après les unités viennent donc les dixièmes, les centièmes, les millièmes, séparés des unités par une virgule.

Un décimal se décompose comme un entier :

La partie à gauche de la virgule s'appelle la partie entière, celle à droite la partie décimale.

Les zéros qui comptent et ceux qui ne comptent pas

Un zéro final dans la partie décimale ne change rien : $2{,}5$ et $2{,}50$ sont le même nombre, car $5$ dixièmes valent $50$ centièmes. On peut donc en ajouter ou en retirer librement à la fin.

En revanche, tout autre zéro tient une place et modifie le nombre : $2{,}05$ n'est pas $2{,}5$, car le $5$ n'y désigne pas des dixièmes mais des centièmes.

Attention au piège. Ajouter des zéros à la fin est justement ce qui permet de comparer deux décimaux sans se tromper (voir plus bas), mais cela ne marche qu'après la virgule. Écrire $25$ au lieu de $2{,}5$ multiplie le nombre par dix.

Comparer deux décimaux

On compare d'abord les parties entières. Si elles sont égales, on compare les parties décimales rang par rang, en commençant par les dixièmes.

Attention au piège. Un décimal avec plus de chiffres n'est pas forcément plus grand : $2{,}45$ est plus petit que $2{,}5$. La règle « le plus de chiffres gagne », valable pour les entiers, est fausse pour les décimaux, parce que les rangs après la virgule valent de moins en moins.

La méthode sûre. Complétez avec des zéros pour que les deux nombres aient autant de décimales, puis comparez comme des entiers :

Encadrer et arrondir

Encadrer un décimal, c'est le placer entre deux valeurs plus simples.

Exemple. $3{,}72$ est encadré par $3$ et $4$ à l'unité, et par $3{,}7$ et $3{,}8$ au dixième.

Arrondir consiste à choisir celle des deux bornes dont le nombre est le plus proche. On regarde le chiffre du rang suivant : s'il vaut $5$ ou plus, on arrondit vers le haut ; sinon vers le bas.

Exemple. $3{,}72$ arrondi au dixième donne $3{,}7$, car le chiffre des centièmes est $2$. Mais $3{,}78$ donne $3{,}8$.

Un contrôle utile. Un arrondi doit toujours rester dans l'encadrement de départ. Si vous arrondissez $3{,}72$ au dixième et trouvez $3{,}9$, le résultat sort de l'intervalle $[3{,}7 \,;\, 3{,}8]$ : l'erreur est visible sans refaire le raisonnement.

Notez enfin qu'un arrondi perd de l'information : $3{,}7$ ne permet pas de retrouver $3{,}72$. C'est utile pour communiquer un ordre de grandeur, mais un calcul mené sur des valeurs arrondies accumule ces écarts.