Nombres relatifs : repérage et comparaison

Quand les entiers ne suffisent plus

Tous les nombres rencontrés jusqu'ici décrivaient des quantités : un effectif, une longueur, un prix. Aucun ne pouvait descendre en dessous de zéro, parce qu'une quantité négative n'a pas de sens.

Mais beaucoup de grandeurs ne sont pas des quantités : ce sont des positions par rapport à un repère. Une température se compte à partir de $0$ °C, une altitude à partir du niveau de la mer, un solde bancaire à partir d'un compte vide. Pour ces grandeurs, « en dessous du repère » est une situation parfaitement ordinaire :

• il fait $5$ degrés de moins que zéro à Moscou en janvier ;
• la mer Morte est à $430$ mètres sous le niveau de la mer ;
• un compte débiteur de $120$ euros n'est pas un compte vide.

Écrire ces trois situations avec les seuls entiers obligerait à ajouter chaque fois une phrase : « en dessous », « sous », « débiteur ». Les nombres relatifs font entrer cette information dans le nombre lui-même, ce qui permet ensuite de calculer avec elle.

Écrire un nombre relatif

Un nombre relatif s'écrit avec un signe suivi d'une distance à zéro :

Les nombres de signe $+$ sont dits positifs, ceux de signe $-$ sont dits négatifs. Pour les positifs, le signe est presque toujours sous-entendu : $+5$ et $5$ désignent le même nombre, et on écrit simplement $5$. Pour les négatifs, en revanche, le signe fait partie de l'écriture et ne peut jamais être omis.

Le cas de zéro est particulier : $0$ n'a ni température au-dessus ni au-dessous du repère, il est le repère. Par convention, c'est le seul nombre à la fois positif et négatif, et son signe ne s'écrit pas.

Attention au piège. Le signe $-$ de $-5$ n'est pas une soustraction. Dans $-5$, il fait partie du nom du nombre, exactement comme le chiffre $5$ ; dans $8 - 5$, il désigne une opération entre deux nombres. La même barre joue donc deux rôles, et c'est au contexte de les distinguer.

Se repérer sur une droite graduée

Une droite graduée est une droite sur laquelle on a choisi un point pour représenter $0$ (l'origine), et une longueur pour représenter une unité. Chaque point de la droite reçoit alors un nombre relatif, son abscisse : les positifs à droite de l'origine, les négatifs à gauche.

Lire une abscisse demande donc deux informations, et dans cet ordre : de quel côté de l'origine se trouve le point, puis à combien d'unités. Le côté donne le signe, la distance donne les chiffres.

Un contrôle utile. Comptez toujours les graduations à partir de l'origine, jamais à partir du bord du dessin. Compter depuis le bord gauche est l'erreur la plus fréquente, et elle donne un résultat positif là où la réponse est négative.

L'opposé d'un nombre

Deux nombres sont opposés lorsqu'ils ont la même distance à zéro et des signes contraires. L'opposé de $7$ est $-7$, l'opposé de $-2{,}5$ est $2{,}5$. Sur la droite graduée, cela se voit immédiatement : deux nombres opposés sont symétriques par rapport à l'origine.

Zéro est le seul nombre égal à son propre opposé, puisque c'est le seul dont la distance à l'origine soit nulle.

Ce que l'opposé n'est pas. Prendre l'opposé ne veut pas dire « rendre négatif ». L'opposé de $-4$ est $4$, un nombre positif. L'écriture $-x$ se lit « l'opposé de $x$ », et elle est positive dès que $x$ est négatif : un point qui resservira dans tout le calcul littéral.

Comparer : c'est la position qui décide

Pour les entiers, comparer se faisait en regardant les chiffres. Pour les relatifs, cette méthode échoue : $-7$ a plus grande distance à zéro que $-3$, et pourtant $-7 < -3$. Une température de $-7$ °C est bien plus froide qu'une température de $-3$ °C.

La règle qui marche toujours est géométrique :

Sur une droite graduée, le plus petit de deux nombres est celui qui est le plus à gauche.

Trois conséquences, qu'il est plus rapide de retenir que de redémontrer :

1. tout nombre négatif est inférieur à tout nombre positif ;
2. tout nombre négatif est inférieur à $0$, tout nombre positif lui est supérieur ;
3. entre deux nombres négatifs, le plus petit est celui dont la distance à zéro est la plus grande.

C'est ce troisième point qui inverse les réflexes du primaire, et c'est donc le seul qu'il faut vérifier consciemment. Pour ranger $-7$, $-3$, $-12$ dans l'ordre croissant, on classe leurs distances à zéro dans l'ordre décroissant ($12$, $7$, $3$), ce qui donne $-12 < -7 < -3$.

Ce que cette leçon ne dit pas encore

Savoir placer et comparer des relatifs ne permet pas encore de calculer avec eux : $(-7) + 4$ et $(-7) \times 4$ demandent des règles propres, et c'est l'objet de la leçon suivante. La notation $\mathbb{Z}$ pour l'ensemble des entiers relatifs, ainsi que l'écriture $|{-7}| = 7$ pour la distance à zéro, seront introduites au lycée avec les ensembles de nombres et les intervalles.