Opérations sur les nombres relatifs

Additionner, c'est se déplacer

La leçon précédente a placé les nombres relatifs sur une droite graduée. Cette même droite donne le sens de l'addition : ajouter $b$, c'est se déplacer de $b$ unités : vers la droite si $b$ est positif, vers la gauche s'il est négatif.

Calculer $a + b$ revient alors à enchaîner deux déplacements depuis l'origine : un premier jusqu'à $a$, un second de $b$ unités.

Ce modèle suffit à retrouver la règle, sans l'apprendre par cœur :

• Mêmes signes. Les deux déplacements vont dans le même sens, donc ils s'ajoutent. On additionne les distances à zéro et on garde le signe commun : $(-6) + (-3) = -9$.
• Signes contraires. Les déplacements s'opposent, donc ils se compensent en partie. On soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande, et le résultat prend le signe du nombre le plus éloigné de l'origine : $(-6) + 4 = -2$, mais $(-3) + 7 = 4$.

Le cas qu'on oublie. Quand les deux distances à zéro sont égales, la compensation est totale : $(-5) + 5 = 0$. Une somme de deux nombres opposés est toujours nulle, et c'est cette propriété qui rendra les équations solubles plus tard.

Soustraire, c'est ajouter l'opposé

Il n'y a pas de règle nouvelle pour la soustraction, parce qu'il n'y a pas d'opération nouvelle :

Soustraire un nombre revient à ajouter son opposé. Toute soustraction peut donc être réécrite en addition, puis traitée avec la règle précédente.

Cette transformation explique le résultat qui surprend le plus : $5 - (-3) = 5 + 3 = 8$. Retirer une dette de $3$ euros à un compte, c'est bien l'enrichir de $3$ euros.

Un contrôle utile. Après réécriture, l'expression ne doit plus contenir que des additions. S'il reste un signe de soustraction, la transformation n'a pas été menée à son terme.

Simplifier les écritures

Enchaîner des signes produit des écritures comme $7 + (-2)$ ou $7 - (-2)$, où deux signes se suivent. Les parenthèses servent à les séparer, mais on peut s'en débarrasser une fois la règle comprise :

Deux signes identiques donnent un $+$, deux signes contraires donnent un $-$.

Attention au piège. Cette règle porte sur deux signes qui se suivent, pas sur les signes des nombres eux-mêmes. Dans $-8 + 3$, il n'y a qu'un seul signe devant chaque nombre : rien à simplifier, le calcul vaut $-5$.

Multiplier et diviser

Pour la multiplication, la distance à zéro et le signe se calculent séparément : on multiplie les distances à zéro, puis on détermine le signe.

La règle des signes tient en une ligne : le produit de deux nombres de même signe est positif, celui de deux nombres de signes contraires est négatif.

On peut la comprendre plutôt que la subir. Multiplier par $-1$ revient à prendre l'opposé, donc à basculer de l'autre côté de l'origine. Multiplier par $-1$ deux fois de suite ramène au point de départ : $(-1) \times (-1) = 1$.

La division suit exactement la même règle, puisque diviser par un nombre revient à multiplier par son inverse :

Pour un produit de plusieurs facteurs, il suffit de compter les facteurs négatifs : un nombre pair de facteurs négatifs donne un produit positif, un nombre impair donne un produit négatif.

Une limite à connaître. Cette règle de comptage ne vaut que pour des produits et des quotients. Elle ne dit rien d'une somme : $(-3) + (-4)$ compte deux termes négatifs et reste pourtant négatif.

Enchaîner les opérations

Les priorités opératoires vues au primaire ne changent pas : parenthèses d'abord, puis multiplications et divisions, puis additions et soustractions, à priorité égale de gauche à droite. La seule nouveauté est qu'il faut maintenant suivre les signes à chaque étape.

Attention au piège. Dans $-5 + 3 \times (-4)$, on ne calcule pas $-5 + 3$ en premier. La multiplication reste prioritaire, même lorsque le premier terme est négatif et attire l'œil.

Ce qui vient ensuite

Les règles de signes établies ici servent partout par la suite : elles gouvernent le calcul sur les fractions, le calcul littéral, et la résolution des équations. L'élévation à une puissance d'un nombre négatif (et la différence entre $(-3)^2$ et $-3^2$) attendra la leçon sur les puissances entières, où la notation est définie.