Multiples et diviseurs

Ce que « multiple » veut dire

Un entier $a$ est un multiple de $b$ lorsqu'on peut écrire $a$ comme un produit de $b$ par un autre entier :

Autrement dit : $b$ « tient un nombre entier de fois » dans $a$, sans reste. C'est exactement la division euclidienne de reste $0$, vue à la leçon sur la multiplication et la division.

Les multiples de $4$ sont donc $0$, $4$, $8$, $12$, $16$, $20$, $\dots$, et aussi, du côté des relatifs, $-4$, $-8$, $-12$, $\dots$ Dans cette leçon, on travaille avec les entiers positifs, plus $0$ : les signes ne changent rien à l'idée, et les compliquent seulement.

Attention au piège. $0$ est un multiple de tout entier $b \neq 0$, parce que $0 = b \times 0$. Ce n'est pas un oubli de la définition : un reste nul est un reste nul. En revanche, on ne dit jamais qu'un nombre est multiple de $0$, car la division par $0$ n'existe pas.

Diviseurs : l'autre face de la même relation

On dit que $b$ est un diviseur de $a$, ou que $b$ divise $a$, lorsque $a$ est un multiple de $b$. La notation $b \mid a$ se lit « $b$ divise $a$ ».

Les deux phrases décrivent la même relation, lue dans les deux sens :

• $15$ est un multiple de $3$ ;
• $3$ est un diviseur de $15$ ;
• $3 \mid 15$.

Un contrôle utile. Si vous hésitez entre « multiple » et « diviseur », regardez lequel des deux nombres est le plus grand (parmi les positifs). Le multiple est toujours un multiple du plus petit : $15$ est multiple de $3$, pas l'inverse. L'exception est $a = b$, où les deux rôles coïncident.

Deux diviseurs sont toujours présents, pour tout entier $a > 0$ : $1$ divise $a$, et $a$ se divise lui-même. Oublier l'un des deux est l'erreur la plus fréquente quand on dresse la liste.

Dresser la liste sans en oublier

Pour lister les diviseurs de $n$, on ne parcourt pas tous les entiers jusqu'à $n$. On cherche des paires $(k,\, n/k)$ : dès que $k$ divise $n$, le quotient $n/k$ est un diviseur lui aussi. Il suffit d'aller jusqu'au moment où $k$ dépasse $n/k$, parce qu'au-delà les paires se répètent en ordre inverse.

Quand $n$ est un carré parfait, une paire est un même nombre écrit deux fois ($4 \times 4 = 16$) : on ne le compte qu'une fois. Quand $n$ n'a qu'une seule paire et qu'elle commence par $1$, $n$ n'a que deux diviseurs : c'est un nombre premier, et c'est le sujet de la leçon qui suit.

Ce que cette leçon ne dit pas encore. Savoir qu'un nombre en divise un autre ne dit pas comment le voir sans calculer. Les critères de divisibilité, juste après, évitent précisément la division posée. Le PGCD, un peu plus loin, sert à simplifier les fractions sans énumérer tous les diviseurs communs.