Critères de divisibilité

Pourquoi un critère

Poser la division de $2\,340$ par $9$ est long, et le moindre oubli de retenue fausse le reste. Un critère de divisibilité répond à la question « est-ce que $b$ divise $a$ ? » en ne regardant que quelques chiffres de $a$. Il ne donne pas le quotient : pour celui-ci, la division reste nécessaire.

Les critères les plus utiles portent sur $2$, $4$, $5$, $10$, $3$ et $9$. Ils se regroupent en deux familles : ceux qui ne regardent que la fin du nombre, et ceux qui regardent la somme de ses chiffres.

La fin du nombre : $2$, $5$, $10$ et $4$

Exemple. $1\,240$ se termine par $0$, donc il est divisible par $2$, par $5$ et par $10$. $1\,316$ se termine par $16$, et $16 = 4 \times 4$, donc $1\,316$ est divisible par $4$, alors que son chiffre des unités, $6$, n'est pas un multiple de $4$.

Attention au piège. Le critère de $4$ n'est pas « le dernier chiffre est un multiple de $4$ ». $12$ se termine par $2$, qui n'est pas multiple de $4$, et pourtant $4 \mid 12$. Inversement, $6$ est pair mais $4$ ne divise pas $6$.

La somme des chiffres : $3$ et $9$

Si la somme obtenue a encore plusieurs chiffres, on recommence : pour $99$, $9 + 9 = 18$ puis $1 + 8 = 9$. On s'arrête dès que le résultat est un petit nombre dont on connaît les multiples.

Attention au piège. Tout multiple de $9$ est un multiple de $3$, mais l'inverse est faux. $15$ a pour somme $1 + 5 = 6$, qui est divisible par $3$ et pas par $9$ : $3 \mid 15$, mais $9$ ne divise pas $15$. Appliquer le critère de $3$ pour conclure à la divisibilité par $9$ est l'erreur la plus courante de cette leçon.

Combiner les critères

Un nombre divisible par $2$ et par $3$ est divisible par $6$, parce que $2$ et $3$ n'ont aucun facteur commun autre que $1$. De même, divisible par $2$ et par $5$ implique divisible par $10$, ce que le critère de $10$ dit déjà, puisque se terminer par $0$ est exactement se terminer par un chiffre pair et par $0$ ou $5$.

Exemple. $2\,340$ se termine par $0$, donc par $10$, $2$ et $5$. Somme des chiffres : $2 + 3 + 4 + 0 = 9$, donc il est aussi divisible par $9$ et par $3$. Il est donc divisible par $6$, et même par $90 = 9 \times 10$.

Un contrôle utile. Pour $6$, vérifiez les deux critères, pas seulement l'un d'eux. $15$ est divisible par $3$ mais pas par $2$ ; $14$ est divisible par $2$ mais pas par $3$. Ni l'un ni l'autre n'est divisible par $6$.

Ce que le critère ne dit pas. Savoir que $9$ divise $2\,340$ ne donne pas le quotient $260$. Le critère tranche un oui ou un non ; le calcul du quotient, lui, reste une division.