Calcul mental

Calculer de tête, ce n'est pas calculer plus vite

Le calcul mental ne consiste pas à poser l'opération dans sa tête : c'est justement ce qui le rend difficile. Il consiste à transformer le calcul en un autre, plus simple, qui donne le même résultat.

Les transformations autorisées sont celles des leçons précédentes : la commutativité, l'associativité et la distributivité. Le calcul mental n'est donc pas une collection d'astuces, c'est l'usage direct des propriétés des opérations.

Passer par la dizaine

Pour une addition qui franchit une dizaine, on complète d'abord au compte rond, puis on ajoute ce qui reste.

Exemple. $38 + 7$ : il manque $2$ à $38$ pour atteindre $40$, et $7 = 2 + 5$, donc $38 + 7 = 40 + 5 = 45$.

Cette stratégie demande de connaître ses compléments à $10$ ($3$ et $7$, $4$ et $6$, …) et à $100$ ($35$ et $65$, …). C'est le seul par cœur vraiment utile, parce qu'il sert dans presque tous les autres calculs.

Décomposer un facteur

Pour une multiplication, on découpe un facteur en morceaux faciles et on applique la distributivité.

Exemple. $6 \times 21 = 6 \times 20 + 6 \times 1 = 120 + 6 = 126$.

Deux décompositions rendent service très souvent :

• multiplier par $5$, c'est multiplier par $10$ puis prendre la moitié ;
• multiplier par $25$, c'est multiplier par $100$ puis diviser par $4$.

Exemple. $18 \times 5 = 180 \div 2 = 90$ et $12 \times 25 = 1\,200 \div 4 = 300$.

Arrondir, puis corriger

Quand un nombre est proche d'un compte rond, on calcule avec le compte rond, puis on corrige l'écart.

Exemple. $7 \times 99 = 7 \times 100 - 7 = 700 - 7 = 693$.

Attention au piège. La correction doit être du même signe que l'écart commis. Comme $99 = 100 - 1$, la distributivité donne $7 \times 99 = 7 \times 100 - 7 \times 1$ : on retire $7$, et non $1$. Corriger de $1$ au lieu de $7$ est l'erreur la plus fréquente de cette méthode, parce qu'on oublie que l'écart est lui aussi multiplié.

Vérifier par l'ordre de grandeur

Avant d'annoncer un résultat de tête, on peut l'encadrer en remplaçant les nombres par des valeurs rondes.

Exemple. $38 \times 21$ est compris entre $38 \times 20 = 760$ et $40 \times 21 = 840$. Un résultat de $798$ est donc plausible, alors qu'un résultat de $79{,}8$ ou de $7\,980$ serait immédiatement suspect.

Ce contrôle ne prouve pas qu'un résultat est exact : il élimine les erreurs grossières, en particulier les erreurs de rang, qui sont les plus fréquentes en calcul mental.