Multiplication et division des entiers

Multiplier, c'est répéter une addition

La multiplication consiste à ajouter un même nombre plusieurs fois. Écrire $a \times b$ revient à additionner $a$ avec lui-même $b$ fois :

Le résultat s'appelle le produit, et $a$ et $b$ sont ses facteurs.

Exemple. $4 \times 3 = 4 + 4 + 4 = 12$.

On peut aussi voir un produit comme un rectangle : $4 \times 3$ compte les cases d'un rectangle de $4$ colonnes et $3$ lignes. Cette image explique d'un coup d'œil pourquoi l'ordre des facteurs ne change rien : un rectangle tourné d'un quart de tour a le même nombre de cases.

Les propriétés de la multiplication

• Commutativité : $a \times b = b \times a$.
• Associativité : $(a \times b) \times c = a \times (b \times c)$.
• Distributivité sur l'addition : $a \times (b + c) = a \times b + a \times c$.
• Élément neutre : $a \times 1 = a$.
• Zéro est absorbant : $a \times 0 = 0$.

Attention au piège. $0$ ne joue pas le même rôle dans les deux opérations : ajouter $0$ ne change rien ($a + 0 = a$), mais multiplier par $0$ détruit tout ($a \times 0 = 0$). De même, l'élément neutre de la multiplication est $1$, pas $0$.

La distributivité est la propriété la plus utile en pratique, car elle permet de découper un facteur difficile en morceaux faciles.

Exemple. $7 \times 13 = 7 \times (10 + 3) = 70 + 21 = 91$.

Multiplier à la main

Quand le second facteur est un seul chiffre, on multiplie colonne par colonne de droite à gauche en reportant les retenues.

Quand le second facteur a deux chiffres, on multiplie d'abord par le chiffre des unités, puis par celui des dizaines. La seconde ligne est décalée d'un rang vers la gauche, parce qu'on multiplie en réalité par un nombre de dizaines : ce décalage n'est pas une règle arbitraire, c'est un $\times 10$.

Exemple. $25 \times 16 = 25 \times (10 + 6) = 250 + 150 = 400$. Autre chemin, souvent plus rapide : $25 \times 16 = 25 \times 4 \times 4 = 100 \times 4 = 400$.

Diviser : quotient et reste

Diviser $a$ par $b$ (avec $b \neq 0$), c'est chercher combien de fois $b$ « tient » dans $a$, et ce qu'il reste.

La division euclidienne de $a$ par $b$ donne un unique couple $(q, r)$ tel que :

On appelle $q$ le quotient et $r$ le reste.

La condition $r < b$ est ce qui rend le couple unique, et c'est là que se niche l'erreur la plus fréquente. Si le reste atteint ou dépasse le diviseur, c'est que le quotient est trop petit : il reste encore au moins un paquet complet à retirer. Ainsi $23 = 5 \times 3 + 8$ est une égalité vraie, mais ce n'est pas la division euclidienne de $23$ par $5$, car $8 > 5$. La bonne écriture est $23 = 5 \times 4 + 3$.

Attention au piège. La division n'est ni commutative ni associative : $20 \div 4$ vaut $5$, alors que $4 \div 20$ est plus petit que $1$. Et diviser par $0$ est impossible : aucun nombre de paquets vides ne permet d'atteindre une quantité non nulle.

Effectuer et vérifier une division

Exemple. Division de $47$ par $6$ : on cherche le plus grand multiple de $6$ inférieur ou égal à $47$. C'est $42 = 6 \times 7$, et il reste $5$ :

On lit : « $47$ divisé par $6$ donne $7$, et il reste $5$ ».

Un contrôle en deux temps. Pour valider une division, il ne suffit pas de retrouver le bon total : il faut aussi que le reste soit assez petit.

1. calculer $b \times q + r$ et vérifier qu'on retombe sur $a$ ;
2. vérifier que $0 \leq r < b$.

Un calcul qui passe la première vérification mais pas la seconde signale un quotient trop petit, pas une erreur d'addition.