Addition et soustraction des entiers

Additionner, c'est réunir

L'addition consiste à réunir deux quantités. On note $a + b$ le résultat obtenu en combinant $a$ et $b$. L'opération s'appelle l'addition et son résultat s'appelle la somme.

Additionner à la main

Pour additionner à la main, on aligne les chiffres par rang : les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines. C'est ce qui rend le calcul possible colonne par colonne.

Avec des chiffres un peu plus grands, la somme d'une colonne peut dépasser $9$. Or une colonne ne peut contenir qu'un seul chiffre : on garde donc les unités sur place et on reporte la dizaine dans la colonne suivante. C'est la retenue.

Pour des nombres plus grands, le principe ne change pas : on additionne colonne par colonne en reportant les retenues.

Les propriétés de l'addition

L'addition possède trois propriétés qui servent à calculer plus vite :

• commutativité : on peut changer l'ordre, $a + b = b + a$ ;
• associativité : on peut regrouper comme on veut, $(a + b) + c = a + (b + c)$ ;
• élément neutre : ajouter zéro ne change rien, $a + 0 = a$.

Exemple. Pour calculer $17 + 45 + 3$, la commutativité et l'associativité permettent de commencer par $17 + 3 = 20$, puis $20 + 45 = 65$. Le résultat est le même, le calcul est plus simple.

Soustraire, c'est retirer ou comparer

La soustraction $a - b$ répond à deux questions qui n'en font qu'une :

• retirer : il reste combien si on enlève $b$ à $a$ ?
• comparer : quel est l'écart entre $a$ et $b$ ?

Le résultat s'appelle la différence. On dit aussi que $a - b$ est le complément de $b$ pour atteindre $a$, ce qui donne un moyen de vérifier tout calcul : si $a - b = c$, alors $c + b$ doit redonner $a$.

Attention au piège. La soustraction n'est ni commutative ni associative : $8 - 3 = 5$ mais $3 - 8$ ne vaut pas $5$. On ne peut donc pas changer l'ordre des nombres comme dans une addition.

Soustraire à la main

On aligne les rangs comme pour l'addition, puis on soustrait colonne par colonne en partant de la droite. Quand le chiffre du haut est trop petit, on emprunte une dizaine à la colonne de gauche : c'est l'exact symétrique de la retenue.

Un contrôle utile. Après chaque soustraction, additionnez la différence et le nombre retiré : vous devez retrouver le nombre de départ. Cette vérification, faite en deux secondes, détecte la quasi-totalité des erreurs d'emprunt.