Forme canonique d'un trinôme du second degré

Un trinôme, une parabole

Un trinôme du second degré est une expression

Sa courbe est une parabole. Le signe de $a$ décide de l'ouverture : vers le haut si $a > 0$, vers le bas si $a < 0$. C'est la même géométrie que $x \mapsto x^2$ dans le thème Analyse (fonctions de référence), translatée et dilatée.

La forme canonique range ce trinôme autour de son sommet :

avec $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. Le point $(\alpha\,;\,\beta)$ est le sommet. La droite $x = \alpha$ est un axe de symétrie.

Attention au piège. $\alpha$ n'est pas $b$, ni $c$. Pour $x^2 + 4x + 1$, $\alpha = -2$, pas $4$. Prendre le coefficient de $x$ pour abscisse du sommet décale toute la courbe.

Passer de $ax^2+bx+c$ à $a(x-\alpha)^2+\beta$

On complète le carré. Pour $a = 1$ :

Le $4$ ajouté est $\bigl(\dfrac{b}{2}\bigr)^2$. En général, $\alpha = -\dfrac{b}{2a}$ évite de chercher à tâtons.

Exemple. $2x^2 - 8x + 5$. Ici $a = 2$, $\alpha = \dfrac{8}{4} = 2$, $\beta = f(2) = 8 - 16 + 5 = -3$, donc $2(x - 2)^2 - 3$.

Un contrôle utile. Développer $a(x - \alpha)^2 + \beta$. On doit retrouver $ax^2 + bx + c$. Si le terme en $x$ ne colle pas, $\alpha$ est faux.

Lire le sommet, le min, le max

Puisque $(x - \alpha)^2 \geq 0$ :

• si $a > 0$, $f(x) \geq \beta$ : $\beta$ est un minimum, atteint en $x = \alpha$
• si $a < 0$, $f(x) \leq \beta$ : $\beta$ est un maximum

La parabole croise l'axe des abscisses selon le signe de $\beta$ et de $a$ : on le verra en factorisant, puis avec le discriminant. Pour l'instant, la forme canonique dit où est l'extremum, pas encore combien de racines.

Ce que cette leçon prépare. Factoriser $a(x - \alpha)^2 + \beta$ quand $\beta$ et $a$ ont des signes opposés, c'est une différence de carrés. Le discriminant, ensuite, traitera tous les cas, y compris ceux où le sommet ne traverse pas l'axe.