Factorisation d'une expression du second degré

Quand les racines se voient

Factoriser un trinôme, c'est l'écrire en produit. Les identités du collège suffisent parfois :

On cherche deux nombres dont la somme est $b$ et le produit $c$ (quand $a = 1$). C'est le retour de $a^2 - b^2$ et de $(x + p)(x + q)$.

Exemple. $x^2 - 5x + 6$ : $2$ et $3$ conviennent, d'où $(x - 2)(x - 3)$.

Attention au piège. $x^2 + 5x + 6$ n'est pas $(x + 5)(x + 6)$ : le produit serait $30$, pas $6$, et la somme $11$. Somme $b$, produit $c$, pas « recopier les coefficients ».

Depuis la forme canonique

Si $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ et que $\beta$ et $a$ sont de signes opposés, on reconnaît une différence de carrés :

avec $\gamma^2 = -\dfrac{\beta}{a} > 0$.

Exemple. $(x + 2)^2 - 3 = \bigl(x + 2 - \sqrt{3}\bigr) \bigl(x + 2 + \sqrt{3}\bigr)$.

Quand $\beta = 0$, $f(x) = a(x - \alpha)^2$ : racine double $x = \alpha$. Quand $\beta$ et $a$ ont le même signe, $(x - \alpha)^2 + \text{positif}$ ne s'annule pas : pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.

Un contrôle utile. Développer le produit obtenu. Si on ne retrouve pas le trinôme, les constantes ont été mal choisies.

Ce qui manque encore

Tous les trinômes ne se factorisent pas à vue, et extraire $\sqrt{-\beta/a}$ devient pénible dès que les coefficients grossissent. Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ de la leçon suivante tranche tous les cas, et donne les racines sans passer par $\alpha$ et $\beta$.

Factoriser après avoir les racines est alors immédiat : $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$. C'est le produit nul de la leçon sur les équations du premier degré, lu dans l'autre sens.

Ce que cette leçon prépare. Les équations $ax^2 + bx + c = 0$ utilisent cette écriture. Les inéquations, ensuite, lisent le signe du produit.