Équations du second degré

Le discriminant

Pour $ax^2 + bx + c = 0$ avec $a \neq 0$, on calcule

• $\Delta > 0$ : deux racines réelles distinctes
• $\Delta = 0$ : une racine réelle double
• $\Delta < 0$ : aucune racine réelle

Les racines, quand elles existent, sont

Si $\Delta = 0$, il reste $x_0 = -\dfrac{b}{2a}$ : c'est aussi l'abscisse $\alpha$ du sommet.

Exemple. $x^2 - 3x + 2 = 0$. $\Delta = 9 - 8 = 1$, $x = \dfrac{3 \pm 1}{2}$, donc $x = 2$ ou $x = 1$.

Attention au piège. $\Delta = b^2 - 4ac$, pas $b^2 + 4ac$, et pas $b^2 - 4a - c$. Un signe faux dans $\Delta$ inverse tout le diagnostic (deux racines devenant zéro, ou l'inverse).

Résoudre, puis factoriser

Une fois $x_1$ et $x_2$ connues,

Pour $x^2 - 3x + 2$, on retrouve $(x - 1)(x - 2)$, déjà accessible à vue. L'apport de $\Delta$, c'est de traiter $x^2 + x - 1 = 0$ :

Un contrôle utile. La somme des racines vaut $-\dfrac{b}{a}$, le produit $\dfrac{c}{a}$. Pour $x^2 - 3x + 2$ : somme $3$, produit $2$. Si votre couple n'y satisfait pas, $\Delta$ ou le $\pm$ a sauté.

Quand $\Delta < 0$, on s'arrête dans $\mathbb{R}$. Les complexes de la fin du thème reprendront $x^2 + 1 = 0$.

Produit nul, encore

Résoudre $a(x - x_1)(x - x_2) = 0$, c'est le produit nul de la leçon $055a$, avec un facteur $a \neq 0$ qui ne s'annule pas. Les solutions sont $x_1$ et $x_2$, pas $a$.

$(2x - 6)(x + 1) = 0$ donne encore $x = 3$ ou $x = -1$ : on n'oublie pas de diviser $2x - 6 = 0$.

Ce que cette leçon prépare. Le signe de $a(x - x_1)(x - x_2)$ dépend de $a$ et de la position de $x$ par rapport aux racines. C'est le tableau de la leçon suivante.