Inéquations du second degré

Le signe du trinôme

Une fois $ax^2 + bx + c = a(x - x_1)(x - x_2)$ avec $x_1 < x_2$, le signe se lit sur trois zones : à gauche de $x_1$, entre les racines, à droite de $x_2$.

Le produit $(x - x_1)(x - x_2)$ est positif à l'extérieur des racines, négatif entre elles. On multiplie ensuite par $a$ :

• si $a > 0$, $f$ a le signe de ce produit : $+$ dehors, $-$ dedans
• si $a < 0$, tout s'inverse : $-$ dehors, $+$ dedans

Les racines elles-mêmes donnent $f = 0$.

Exemple. $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$. Tableau, $a = 1 > 0$ :

Attention au piège. Le « dehors / dedans » s'applique au produit $(x-x_1)(x-x_2)$, pas à $a$ oublié. Pour $-x^2 + 3x - 2$, $a < 0$ : positif entre $1$ et $2$, négatif à l'extérieur.

Résoudre $f(x) > 0$, $f(x) \geq 0$

On lit le tableau. L'inégalité stricte exclut les racines ; $\geq$ ou $\leq$ les inclut.

$x^2 - 3x + 2 > 0$ : $x \in \,]-\infty\,;\,1[ \,\cup\, ]2\,;\,+\infty[$.

$x^2 - 3x + 2 \geq 0$ : $x \in \,]-\infty\,;\,1] \,\cup\, [2\,;\,+\infty[$.

Un contrôle utile. Tester un nombre de chaque zone, y compris un nombre entre les racines. Si $x = 1{,}5$ vérifie une inégalité qui devait être fausse « entre », $a$ ou l'ordre $x_1 < x_2$ a sauté.

Les cas $\Delta = 0$ et $\Delta < 0$

Si $\Delta = 0$, $f(x) = a(x - x_0)^2$. Le trinôme a le signe de $a$, sauf en $x_0$ où il s'annule. $f(x) > 0$ (avec $a > 0$) est alors $\mathbb{R}$ privé de $x_0$ ; $f(x) \geq 0$ est $\mathbb{R}$ tout entier.

Si $\Delta < 0$, $f$ ne s'annule pas et garde le signe de $a$ partout. $x^2 + 1 > 0$ est vrai pour tout réel ; $x^2 + 1 < 0$ n'a pas de solution.

Ce que cette leçon clôt, pour le second degré dans $\mathbb{R}$. Les suites, ensuite, reprendront $u_{n+1} - u_n$ et compareront à $0$ : un signe, encore, mais discret. Analyse aura déjà les fonctions affines, dont les suites arithmétiques sont la version pas à pas.