Inférence statistique

De l'échantillon à la population

L'inférence statistique utilise les données d'un échantillon pour estimer une caractéristique inconnue d'une population.

Exemple. Il est difficile d'interroger tous les électeurs d'un pays. On questionne un échantillon de $n$ électeurs et on utilise la fréquence observée $f$ pour estimer la proportion $p$ dans toute la population.

Une estimation n'est pas une certitude : deux échantillons aléatoires issus de la même population donnent généralement des résultats différents. Cette variation est appelée fluctuation d'échantillonnage.

Estimer une proportion

La fréquence $f$ observée dans l'échantillon est une estimation ponctuelle de la proportion $p$. Pour rendre compte de l'incertitude, on donne plutôt un intervalle de confiance.

Pour l'approximation usuelle au niveau de confiance de $95\%$, on utilise :

en ramenant au besoin les bornes à l'intervalle $[0;1]$.

Cette formule est une approximation scolaire : elle remplace un calcul plus précis par une marge simple à retenir. Elle n'est pas universelle et suppose trois conditions :

• l'échantillon est aléatoire, tiré au hasard dans la population ;
• il est assez grand, en pratique $n\geqslant 30$ ;
• la fréquence observée n'est pas trop proche de $0$ ni de $1$ ; on demande habituellement $nf\geqslant 5$ et $n(1-f)\geqslant 5$.

Hors de ces conditions, la marge $\frac{1}{\sqrt{n}}$ peut être franchement trompeuse, et il faut recourir à des méthodes plus fines.

Exemple. Sur $400$ personnes, $f=0{,}58$ déclarent préférer une option. Comme $\frac{1}{\sqrt{400}}=0{,}05$, on obtient :

Le niveau de confiance de $95\%$ décrit la fiabilité de la méthode : si l'on répétait l'échantillonnage un grand nombre de fois, environ $95\%$ des intervalles ainsi construits contiendraient la vraie proportion.

Précision et qualité de l'échantillon

La marge $\frac{1}{\sqrt{n}}$ diminue lorsque $n$ augmente. Pour la diviser par deux, il faut multiplier la taille de l'échantillon par quatre.

Un grand échantillon ne corrige toutefois pas un mauvais protocole. Une estimation peut être biaisée si :

• le recrutement exclut une partie de la population ;
• les volontaires diffèrent des personnes qui ne répondent pas ;
• la formulation de la question influence les réponses ;
• les données sont manquantes ou mesurées de façon inégale.

Le mode de sélection est donc aussi important que la taille. Un échantillon aléatoire ou construit selon un protocole adapté vise à être représentatif de la population étudiée.