Décomposition en facteurs premiers

Casser jusqu'aux premiers

Tout entier $n > 1$ s'écrit comme produit de nombres premiers. On appelle cette écriture sa décomposition en facteurs premiers. Pour $60$ :

L'écriture avec exposants est juste une abréviation : $2^2$ dit que le facteur $2$ apparaît deux fois. $1$ n'y figure jamais : ce n'est pas un nombre premier, et le coller devant le produit ne change rien.

Le théorème fondamental. Cette décomposition est unique, à l'ordre près des facteurs. On peut écrire $2 \times 2 \times 3 \times 5$ ou $5 \times 3 \times 2^2$, ce sont les mêmes facteurs. On ne peut pas écrire $60 = 2 \times 30$ et s'arrêter : $30$ n'est pas premier, la décomposition n'est pas terminée.

La méthode : diviser par le plus petit premier

On teste les premiers dans l'ordre $2$, $3$, $5$, $7$, $\dots$, en s'aidant des critères de divisibilité. Chaque fois que l'un d'eux divise le nombre, on le note et on recommence avec le quotient, jusqu'à tomber sur un nombre premier.

Un contrôle utile. Multipliez les facteurs obtenus : le produit doit retrouver le nombre de départ. Si $180$ est devenu $2^2 \times 3^2 \times 5$, vérifiez $4 \times 9 \times 5 = 180$. Un facteur oublié se voit tout de suite.

Attention au piège. S'arrêter dès que le quotient n'est plus pair est insuffisant : $45$ n'est pas pair, et $45 = 3^2 \times 5$ n'est pas premier. La décomposition n'est finie que lorsque tous les facteurs le sont.

À quoi sert la décomposition

Une fois $n$ écrit en produit de premiers, ses diviseurs se lisent sans les chercher un par un. Un diviseur de $2^2 \times 3 \times 5$ s'obtient en prenant chaque facteur à une puissance inférieure ou égale à celle de $n$ : $2^a \times 3^b \times 5^c$ avec $0 \leq a \leq 2$, $0 \leq b \leq 1$, $0 \leq c \leq 1$. Il y en a $3 \times 2 \times 2 = 12$, $1$ et $60$ compris.

Le PGCD de deux nombres se lit de la même façon : on garde, pour chaque premier, la plus petite des deux puissances. C'est l'objet de la leçon suivante, et c'est ce qui permettra de simplifier une fraction sans énumérer tous les diviseurs communs.